10 من أهم خصائص الدائرة .. تعرف على أمثلة رياضية توّضحها

خصائص الدائرة

الدائرة من الأشكال الهندسية المميزة والتي ليس لها اضلاع ولا زوايا معينة مثل المثلث أو المربع وغيرها من الأشكتال الهندسية الأخرى، لكن الدائرة تحمل خصائص هندسية مميزة تختلف في العديد من الأشكال الهندسية الأخرى، وسوف نتعرف عليها من هذا المقال، حيث نتعرف على العديد من النقاط على خصائص الدائرة وغيرها من المعلومات حول الشكل الهندسي هذا، إلى جانب نتعرف على العديد من الأمثلة التي تبيّن أهم خصائص الدائرة، فهيا بنا نتعرف عليها من خلال السطور التالية.

ما هي أهم خصائص الدائرة؟

الدائرة من الأشكال الهندسية الناتجة من مجموعة من النقاط التي تقع على مسافة ثابتة من النقطة المعينة التي تعرف في الهندسة بمركز الدائرة، والدائرة لها نصف قطر يمكن تعريفها على أنه المسافة من مركز الدائرة لأي نقطة على محيط الدائرة، أما الرمز لهذا المركز من أي نقطة على محيطها ويرمز بالرمز نق.

أما الوتر في الدائرة، وهو من اهم عناصر الشكل الهندسي، وبالتالي يرمز ق أما القطر المترابطان وبالتالي فإن القطر يعادل ضعف نصف القطر تماماً ق = 2 نق.

أما عن الخصائص لهذا الشكل الهندسي هي:

الوتر
الوتر عبارة عن القطعة المستقيمة التي تصل بين نقطتين على حدود الدائرة ويقسم الخط العمودي الساقط من مركز الدائرة الوتر إلى نصفين متساويين ومن أهم خصائص الوتر في الدائرة هي ان الأقواس في الدائرة الواحدة تتساوى إذا تساوت قياسات أوتارها، فعلى سبيل المثال إذا كان أ – ب – ج – د أوتار في الشكل الهندسي الدائرة، فإنها أي أ ب = ج د وبالتالي القوس أ ب = القوس ج د

وعند التوازي للأوتار فإن الأقواس التي تحصر بينها تكون متساوية وبالتالي فعلى سبيل المثال فإن أ ب يوازي ج د وبالتالي فالقوس أ د = القوس ب ج

وعند تقاطع وترين أ ب، ج د عند النقطة و وبالتالي فإن الناتج ضرب الأجزاء الوتر الأول يساوي ناتج ضرب أجزاء الوتر الثاني ببعضها البعض وبالتالي نجد هذه المعادلة الرياضية بالرموز عن أقطار التر الدائر وهي أو×وب=جـ و×ود.

أما عن الأوتار ذات الأطوال المتساوية تبعد نفس المسافة عن المركز الدائري، وكذلك الأوتار ذات الطول المتساوي تقابل الزوايا المركزية المتساوية أيضاً.

وفي المقابل فإن الزوايا المركزية المتساوية التي تقابلها أوتار متساوية أيضاً.

المماس
المماس عبارة عن الخط الذي يمس الدائرة في أي نقطة فيها، ويتعامد نصف قطر الدائرة مع المماس في النقطة التي يمس فيها الدائرة ويتميز بالخصائص التالية:

في حالة إذا تم رسم ممارسان من النقطة الخارجية ع ليمسا دائرة ما مركزها عند النقطتين ق – ل فبالتالي فإن ع ق = ع ل

وكذلك الزاوية ع م ق = الزاوية ع م ل

وأيضاً الزاوية م ع ق = الزاوية م ع ل.

وفي حالة التقاء المماس الذي يمس الدائرة في النقطة أ مع الوتر أ ب فإن الزاوية التي تحصر ما بينهما تساوي الزاوية المحيطية أ ج ب التي تقابل الوتر أ ب

وفي حالة إذا كان هناك قصر في المسافة من مركز الدائرة إلى المماس تكون هي في نفس الوقت نصف قطر الدائرة.

خصائص الزواية المحيطية
الزاوية المحيطية هي التي تتشكل في الدائرة عند التقاء وترين في محيط الدائرة نفسها، ولها العديد من الخصائص مثل:

  • تتساوى هذه الزاوية المرسومة على نفس القوس المرسوم في محيط قياس الدائرة.
  • الزاوية المحيطية تساوي 90 درجة وهي الزاوية المحيطية لنصف الدائرة.
  • الزاوية المحيطية التي تقابل الجهتين متقابلتين وبالتالي تقابل نفس الوتر أما مجموعهما تساوي 180 درجة.
  • كلما زاد قياس الزواية المحيطية كلما كان طول القوس المقابل لها أكبر من القياس.
  • تتساوى الزوايا المقابلة لنفس القوس في القياس لهذه الزوايا.

خصائص الزاوية المركزية للدائرة
توجد في كل دائرة زاوية تسمى الزاوية المركزية وهي الزاوية التي يكون رأسها على مركز الزاوية ويكون نهاية كل أضلاعها على محيط الدائرة ولها العديد من الخصائص التي تتمثل في:

  • قياس الزاوية المركزية للدائرة يساوي الضعف في القياس للزاوية المحيطية التي ترسُم على نفس القوس.
  • الأقواس في الدائرة تتساوى عندما تكون زاوية مركزية متساوية.
  • كلما زادت درجة قياس الزاوية المركزية للدائرة كلما كان طول القوس المقابل لها أكبر في القياس.
  • في حالة إذا كانت الزاوية المركزية = 180 درجة = π في تلك الحالة فإن القوس المتشكلة بهذه الزاوية تمثل نصف محيط الدائرة.
  • في حالة إذا كانت الزاوية المركزية = 360 درجة = 2π وبالتالي فإن القوس الذي يتشكل بهذه الزاوية يمثل محيط الدائرة بالكامل.
  • الزوايا المقابلة تتساوى لنفس القوس في قياسها.

تطابق الدوائر
تعتبر من الخصائص العامة للدائرة، فإن الدوائر تتطابق في المساحة في حالة غذا كان نصف قطرها متساوي مع بعضها البعض.

قطر الدائرة
يعتبر قطر الدائرة أحد أجزاء مساحة الدائرة، والقطر له عدة خصائص منها أن أطول وتر في الدائرة هو نفسه قطر الدائرة.

المسافة العمودية للدائرة
المسافة العمودية تقل بين مركز الدائرة والتر وذلك كلما زاد طول الوتر.

توازي مماسات الدائرة
من ضمن خصائص الدائرة العامة توازي المماسات المرسومة خاصة المماسات التي تُرسم عند نهايتي قطر الدائرة.

خصائص المثلث المكوّن من نصف قطر الدائرة
يمكننا رسم مثلث عند نصف قطر الدائرة، ويكون مثلث يتشكل من نصفي قطر الدائرة، اما الوتر الواصل بين طرفيهما يكون مثلث متساوي الساقين.

محيط الدائرة على القطر ثابت
في حالة قسمة محيط الدائرة على قطر الدائرة فإن الناتج ثابتاً وهو باي، ويساوي بالأرقام 3.142 تقريباً.

أمثلة رياضية على تطبيق خصائص الدائرة

إذا كنا عرفنا في النقاط السابقة ما هي خصائص الدائرة سواء الخصائص العامة أو خصائص الزوايا الهامة والأوتار والأقواس، فإن الامثلة التالية التي نتعرف عليها من خلال النقاط الآتية، نتعرف من خلالها التطبيق الرياضي العملي على هذه الخصائص، وهذا يجعلنا نفهم أكثر هذه الخصائص، فهيا بنا لهذه الأمثلة:

المثال الأول
إذا كانت دائرة مركزها م وفيها المماس د أ يقطع الدائرة عند النقطة أ فإن الوتر أ ب يلتقي في النقطة أ وهذا من خلال قياس الزاوية ب أ د = 50 درجة، فما هو قياس الزاوية أ م ب؟

الحل هو: وفقاً للخاصية عند التقاء المماس د أ والذي يقوم بمس الدائرة عند النقطة أ مع الوتر أ ب فإن الزاوية المحصورة بينهما الذي يساوي الزاوية المحيطية أ ج ب التي تقابل أ ب وبالتالي فإن القياس للزاوية المحيطية للوتر أ ب = 50 درجة.

وبالتالي فإن وفقاص للخاصية: ( قياس الزاوية المركزية يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية التي ترسم على نفس القوس ) فإن الزاوية المركزية أ م ب التي تقابل الوتر ( أ ب ) = 2 × الزاوية المحيطية التي ترسم على الوتر ( أ ب ) والتي ينتج منها الزاوية ( أ م ب ) = 2 × 50 درجة = 100 درجة.

المثال الثاني
تقاطع الوتران أ ب، ج د عند النقطة ( و ) بحيث ينقسم كل منهما الآخر لجزأين، بحيث يكون الوتر الأول كان طول أ و = 4 وحدات أما طول و ب = 6 وحدات بينما في الوتر الثاني فإن كان طول ج و = 3 وحدات فما هو طول و د ؟

الحل: من خلال الخاصية: ( تقاطع الأوتار ينتج أن: الناتج ضرب أجزاء الوتر الأول يساوي لناتج ضرب أجزاء الوتر الثاني لبعضها البعض في حين أن و د × 3 = 4 × 6 وبالتقسيم للطرفين ناتج أن و د = 8 وحدات.

المثال الثالث
دائرة مركزها النقطة م ، وفيها الوتران أ ب ، أ ج أما قياس الزاوية فيها أ م ب = 90 درجة، وقياس الزاوية التالية أ م ج = 110 درجة، فما هي قياس الزاوية ب أ ج؟

الحل: إذا كانت الزاوية أ م ب + الزاوية أ م ج + الزاوية ج م ب = 360 درجة وبالتالي فإنها ينتج عنها 90 درجة + 110 درجة + الزاوية ج م ب = 360 درجة ومنه الزاوية ج م ب = 160 درجة.

وبما أن الزاوية ج م ب × 2 × الزاوية ب أ ج وذلك لأن الخاصية الدائرية: ( قياس الزاوية المركزية تساوي ضعف القياس للزاوية المحيطية التي تُرسم على نفس القوس في الدائرة) فإن النتيجة هي 160 درجة = 2 × الزاوية ب أ ج وبتقسيم الطرفين على 2 فإن النتيجة النهائية هي الزاوية ب أ ج = 80 درجة.

المثال الرابع
في حالة إذا كانت دائرة مركزها النقطة م فيهما الوتر أ ب ، أ ج وقياس الزاوية ب أ ج = 50 درجة، فما هي قياس الزاوية م ب ج ؟

الحل: الزاوية ب م ج = 2 × الزاوية ب أ ج وهذا وفقاً للخاصية الدائرية: ( قياس الزاوية المركزية تساوي ضعف القياس للزاوية المحيطية التي تُرسم على نفس القوس في الدائرة ) وبالتالي فإن النتيجة هي الزاوية ب م ج = 2 × 50 درجة = 100 درجة

أما في المثلث متساوي الساقين المرسوم في نصف القطر الدائري م ب ج، م ب = م ج وذلك لأنهما يمثلان أنصاف أقطار في الدائرة وهذا يعني أن الزاوية م ب ج = الزاوية م ج ب.

وبالتالي مجموع الزاويا للمثلث يساوي 180 درجة، وبالتالي النتيجة في إن م ب ج + الزاوية م ج ب + الزاوية ب م ج = 180 درجة.

وبالتالي فإن م ب ج + الزاوية م ج ب + 100 درجة = 180 درجة، وهذا يعني أن م ب ج + الزاوية م ج ب = 80 درجة، وبالتالي 2 × الزاوية م ب ج = 80 درجة وبالتالي فإن الزاوية م ب ج = 40 درجة.

المثال الخامس
إذا تقاطع وتران أ ب، ج د عند النقطة ( و ) حيث تقسيم كل منهما الآخر لجزأين، وفي الوتر الأول كان طول أ و = ( س + 4 ) وحدات وطول و ب = 10 وحدات بينما الوتر الثاني كان طوله ج و = ( س + 1 ) وحدات وطول و د = 15 وحدة؟

الحل هنا من خلال خاصية تقاطع الأوتار وهي التي ينتج عنها ضرب أجزاء الوتر الأول الذي يساوي ناتج ضرب أجزاء الوتر الثاني ببعضهما البعض وبالتالي فإن 10 × ( س + 4 ) = ( 15 ) × ( س + 1 ) وبتبسيط المعادلة ناتجة عن 10 س + 40 = 15 س + 15 ، 5 س = 25 بقسمة الطرفين على الرقم 5 فإن س = 5 وحدات.

في هذا المقال تعرفنا على أهم خصائص الدائرة العامة والخاصة والزوايا وغيرها هذا مع معرفة أمثلة عليها.

Responses